Восьмий клас часто стає моментом, коли геометрія перестає бути набором кутів і відрізків. Креслення ускладнюються, задачі стають довшими, а в зошиті з’являються перші доведення на пів сторінки.
Курс при цьому складається з кількох зрозумілих блоків, і кожен наступний спирається на попередній. Нижче розбираємо, що вивчає геометрія 8 клас, які формули варто тримати в голові і як пояснити собі ці теми на простих прикладах.
Що вивчає геометрія 8 клас
У 7 класі учні опановують базу: точки, прямі, кути й трикутники. Восьмий клас бере ці знання і переносить їх на нові фігури — чотирикутники, многокутники та коло.
Порядок тем у підручниках різних авторів може трохи відрізнятися, особливо в програмах Нової української школи. Основні розділи при цьому повторюються майже скрізь.
| Розділ | Основні поняття | Що треба вміти після теми |
|---|---|---|
| Чотирикутники | паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат, трапеція | визначати вид фігури, знаходити кути й сторони |
| Коло і кути | центральний кут, вписаний кут, вписаний чотирикутник | знаходити кути через дуги |
| Подібність трикутників | коефіцієнт подібності, три ознаки | доводити подібність, знаходити невідомі сторони |
| Прямокутний трикутник | теорема Піфагора, синус, косинус, тангенс | розв’язувати прямокутні трикутники |
| Многокутники і площі | сума кутів n-кутника, формули площ | обчислювати площі фігур |
Таблицю зручно переписати на першу сторінку зошита. Так легше бачити, на якому етапі курсу ви зараз і що чекає далі.
За переказами, над входом до Академії Платона був такий напис:
«Нехай не входить сюди той, хто не знає геометрії». — Платон
Сьогодні вимоги м’якші, але логіка лишилася. Без планіметрії 8 класу важко рухатися далі в стереометрії 10–11 класів і на НМТ з математики.
Чотирикутники у 8 класі
Перший великий розділ присвячений фігурам з чотирма сторонами. Сума кутів будь-якого опуклого чотирикутника дорівнює 360°, і цей факт знадобиться в десятках задач.
Перевірити його легко самостійно. Розріжте паперовий чотирикутник по діагоналі: вийдуть два трикутники, у кожного сума кутів 180°, а разом якраз 360°.
Паралелограм і його види
Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Від нього походять прямокутник, ромб і квадрат.
Властивості паралелограма варто знати добре, бо на них тримається більшість доведень:
- протилежні сторони рівні;
- протилежні кути рівні;
- сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°;
- діагоналі в точці перетину діляться навпіл.
Прямокутник додає до цього рівні діагоналі, а ромб — діагоналі, перпендикулярні одна одній. Квадрат має всі ці властивості одночасно, тому він водночас і прямокутник, і ромб.
Добрий приклад з життя — ромбоподібний автомобільний домкрат. Коли ви крутите гвинт, одна діагональ ромба коротшає, а інша росте. Сторони лишаються тими самими, змінюються лише кути.
Трапеція та середня лінія
Трапеція має тільки одну пару паралельних сторін, їх називають основами. Якщо бічні сторони рівні, трапеція рівнобічна, і кути при кожній основі в неї однакові.
Середня лінія трапеції з’єднує середини бічних сторін і дорівнює півсумі основ. Для трапеції з основами 6 см і 10 см вона становить (6 + 10) : 2 = 8 см.
Схожу лінію має і трикутник. Вона паралельна одній зі сторін і дорівнює її половині, тож при основі 12 см середня лінія становить 6 см.
Теорема Фалеса на практиці
Теорема Фалеса стверджує таке: якщо паралельні прямі відтинають рівні відрізки на одній стороні кута, то й на другій стороні відрізки будуть рівними. Звучить сухо, та на ній тримається простий спосіб поділити відрізок на будь-яку кількість рівних частин.
Візьміть зошит у лінійку і покладіть на нього смужку паперу під кутом. Лінії зошита поділять смужку на рівні частини, навіть якщо її довжина не ділиться націло на потрібне число.
Спробуйте цей прийом, коли треба швидко розмітити закладку чи листівку на однакові смуги. Лінійка з поділками тут навіть не знадобиться.
Вписані кути та чотирикутники
Далі курс повертається до кола. Центральний кут має вершину в центрі кола, а вписаний — на самому колі.
Вписаний кут дорівнює половині центрального, що спирається на ту саму дугу. Звідси випливає зручний наслідок: кут, що спирається на діаметр, завжди прямий.
Чотирикутник можна вписати в коло, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180°. Коло можна вписати в чотирикутник, якщо суми його протилежних сторін рівні.
Подібність трикутників: ознаки і приклади
Подібні трикутники мають однакову форму, але різні розміри. Їхні кути рівні, а сторони пропорційні з одним і тим самим коефіцієнтом k.
Для доведення подібності досить перевірити одну з трьох умов:
- два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого;
- дві сторони пропорційні, а кути між ними рівні;
- усі три сторони пропорційні.
Найчастіше в задачах працює перша ознака. Кути легко знайти через паралельні прямі або вертикальні кути.
Легенда розповідає, що Фалес визначив висоту єгипетської піраміди за довжиною її тіні. Той самий прийом доступний і вам: у сонячний день поставте вертикально палицю завдовжки 1 м і виміряйте її тінь.
Нехай тінь палиці становить 1,5 м, а тінь дерева — 12 м. Трикутники подібні, тому висота дерева дорівнює 12 : 1,5 = 8 м.
Ще один важливий факт стосується площ. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності. Якщо збільшити фото вдвічі по ширині й висоті, аркуш для друку знадобиться вчетверо більшої площі.
Прямокутний трикутник і тригонометрія
Цей розділ найчастіше знадобиться поза школою. Він стане в пригоді під час ремонту, на будівництві і навіть під час вибору телевізора.
Теорема Піфагора без зубріння
У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: c² = a² + b². На цій рівності тримається половина задач розділу.
Діагональ телевізора — класичний приклад. Екран шириною 80 см і висотою 60 см має діагональ √(6400 + 3600) = √10000 = 100 см, тобто приблизно 39 дюймів.
Трійку чисел 3, 4 і 5 давні будівельники використовували для розмітки прямих кутів. Мотузку ділили вузлами на 12 рівних частин і натягували трикутником зі сторонами 3, 4 і 5 — кут між меншими сторонами виходив рівно 90°.
Синус, косинус і тангенс
Для гострого кута прямокутного трикутника вводять три відношення. Синус дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи, косинус — прилеглого катета до гіпотенузи, а тангенс — протилежного катета до прилеглого.
Значення для трьох кутів трапляються в задачах постійно, тому їх корисно пам’ятати.
| Кут | sin | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
Помітна закономірність: синус 30° дорівнює косинусу 60°, а синус 60° — косинусу 30°. Так відбувається з будь-якими двома гострими кутами, що разом дають 90°.
Тангенс добре видно на пандусі. Для пандусів радять ухил близько 1 : 12, тобто на кожні 12 см довжини підйом лише на 1 см. Тангенс такого кута дорівнює 1/12, а сам кут менший за 5°.
Спробуйте виміряти сходинку у своєму під’їзді і порахувати тангенс кута нахилу сходів. Це хороше тренування перед контрольною.
Площі многокутників у 8 класі
Завершальний розділ курсу зводить разом усе попереднє. Сума кутів опуклого n-кутника обчислюється за формулою 180° · (n − 2), тому в шестикутнику вона дорівнює 720°.
Основні формули площ краще тримати на одній картці.
- Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін: S = a · b.
- Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до неї: S = a · h.
- Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту: S = ½ · a · h.
- Площа ромба дорівнює половині добутку діагоналей: S = ½ · d₁ · d₂.
- Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту: S = (a + b) : 2 · h.
Формулу площі трикутника легко вивести з паралелограма. Два однакові трикутники складаються в паралелограм, тож площа одного становить половину.
Грядка у формі трапеції з основами 3 м і 5 м та висотою 2 м займає (3 + 5) : 2 · 2 = 8 м². Саме стільки плівки знадобиться, щоб її вкрити.
Площа трапеції по суті дорівнює її середній лінії, помноженій на висоту. Так формули з різних розділів поєднуються в одну систему.
Як вчити геометрію 8 клас легше
Геометрія вимагає не лише формул, а й уміння бачити фігуру на кресленні. Цьому можна навчитися, якщо працювати з темою послідовно.
Працювати з кожною новою темою зручно за таким планом.
- Прочитайте означення і перекажіть його своїми словами.
- Накресліть фігуру від руки і позначте всі відомі елементи.
- Випишіть властивості, які можна застосувати до цієї фігури.
- Розв’яжіть дві-три прості задачі і лише потім переходьте до складніших.
- Через кілька днів поверніться до теми і розв’яжіть одну задачу без підказок.
Креслення варто робити великими, на пів сторінки. На маленькому малюнку рівні відрізки й кути легко сплутати, а на великому потрібна ідея часто видно одразу.
За переказом, цар Птолемей попросив Евкліда показати легший шлях до знань, і той відповів:
«Немає царського шляху до геометрії». — Евклід
Жодна формула не запам’ятається назавжди після одного прочитання. Проте кожна розв’язана задача робить наступну трохи легшою.
Курс 8 класу вчить чотирьох великих речей: розпізнавати чотирикутники, бачити подібні фігури, рахувати сторони через Піфагора й тригонометрію та знаходити площі. Коли одного дня ви без підказки порахуєте висоту дерева за його тінню, стане зрозуміло, що геометрія давно вийшла за межі зошита.
